Jihan Nafiisah: 2021

Selasa, 04 Mei 2021

PENILAIAN AKHIR SEMESTER GENAP

QUESTIONS 1

1. a=i-8j+5k

b=3i+8j+2k

C=-2i-4j+3k

A+2b-3c = (1,-8, 5) + 2 (3,8,2) - 3 (-2,-4,3)

= (1,-8,5) + (6,16,4) - (-6,-12,9)

= 13i + 20j

2. (7,-4, p) x (1, 8, -5) = 0

7 + (-32) - 5p = 0

-25p = 5

p = -5

= a - b - c

= (7,-4,-5) - (1,-8,-4) - (1,-2,-3)

= (5,-10,-3)

3. PQ = Q - P

= (-4, 1) x (9, 11)

= ( -13, -10 )

QUESTIONS 2

4. AB = k × BC

B - A = k × C - B

(7, -14, 6) - (1, -5, -9) = k × (15, -26, 20) - (7, -14, 6 )

(6, -9, 15) = k × (8, -12, 14)

6 = k × 8

K = 6/8

K = 3 : 4

5. u = AB = B - A

= (2, -1, 8) - (-3, 5, 2)

= (5, -6, 6)

v = BC = C - B

= (3, -4, 6) - (2, -1, 8)

= (1, -3, -2)

U × V

= (5, -6, 6) x (1, -3, -2)

= 5 + 18 - 12

= 11

6. a = PQ = Q - P

= (-4, 20, 10) - (-8, -4, -15)

= (-3, 24, 25)

QR = R - Q

= (12, 22, -20) - (-11, 20, 10)

= (23, 2, -30)

PR = R - P

= (12, 22, -20) - (-8, -4, -15)

= (20, 26, -5)

b = QR - PR

= (23, 2, -30) - (20, 26, -5)

= (3, -2, -25)

a × b

= (-3, 24, 25) x (3, -24, -25)

= -9 - 576 - 625

= -1.210

7. a = PR = R - P

= (3, 15) - (-1, 10)

= (4, 5)

b = PQ = Q - P

= (5, 3) - (-1, 10)

= (6, -7)

c = QR = R - Q

= (3, 15) - (5, 3)

= (-2, 12)

c = ma + nb

(-2,12) = m (4, 5) + n(6, -7)

(-2,12) = (4m, 5m) + (6n, -7n)

4m + 6n = -2 | ×5 | 20m + 30n = -10

5m - 7n = 12 | ×4 | 20m - 28n = 48 -

58n = -58

n = -1

4m + 6n = -2

4m + 6(-1) = -2

4m - 6 = -2

4m = 4

m = 1

m+n = -1 + 1 = 0

8. u × v

= (5, -6, -2) x (1, p, -4)

= 5 + 6p + 8 = 0

= 6p = -13

= p = 2,1 ~ 2

9. c = a - b

= (5i + 6j - 2k) - (3i - 4j - 13k)

= 2i + 10j + 11k

= √ 2² + 10² + 11²

= √4 + 100 + 121

= √225 = 15

10. a = PQ = Q - P

= (6, 0, 12) - (3, -6, 9)

= (3, 6, 3)

b = QR = R - Q

= (3, -9, 18) - (6, 0, 12)

= (-3, -9, 6)

|a| = √3² + 6² + 3³

√9 + 36 + 9

√54 = 3√6

|b| = √-3³ + (-9²) + 6²

√9 + 81 + 36

√126 = 3√14

CosX = a × b / 3√6 × 3√14

= (3, 6, 3) x (-3, -9, 6) / 9√22

= -9 - 54 + 18 / 9√22

= 45 / 9√22 = -5/√22 × √22/√22

= -5√22 / 22

CosX = -1,06

= 122°

11. Cos0 = v × w / |v| × |w|

|v| = √4 + 16 + 4

√24 = 2√6

|w| = √1 + 1 + 4

= √6

(2, -4, -4) x (1, 1, 2) / 2√6 × √6

= 2 - 4 - 4 / 12

= -6 / 12

cos0 = - 1/2

= 120°

12. g = A - B

= (3, -9, -5) - (5, -8, -8)

= (-2, -1, 3)

h = C - D

= (11, -12, -2) - (10, -9, -4)

= (1, -3, 2)

|g| = √4 + 1 + 9 = √14

|h| = √1 + 9 + 4 = √14

(-2, -1, 3) x (1, -3, 2) / √14 × √14

= - 2 + 3 + 6 / 14

= 7/14 = 1/2

= 60°

13. ab = √7 × 2√3 = 2√21

ab = a² + 2ab + b²

a+b² = 7 + 2( 2√21) + 12

a+b = √19 + 4√21

= 19 + 84

= 103

14. AB = B - A

(7, 4, -9) = B - (8, -11, 3)

(4) = B - (-11)

B = (7, 4, -9) + (8, -11, 3)

= (15, -7, -6)

15. a = v - u

= (9, 3, -3) - (5, 3, -3)

= (4, 0, 0)

|a| = √16 = 4

b = w - v

(13, 7, -3) - (9, 3, -3)

= (4, 4, 0)

|b| = √32 = 4√2

Cos0 = a × b / |a| × |b|

= (4, 0, 0) x (4, 4, 0) / 4 × 4√2

= 16 + 0 + 0 / 16√2

= 16/16√2 × 16√2 / 16√2

= 1/√2 × √2/√2

= 32√2/32 = √5 × 1/2√2

= 45° atau 315°

Tan 45° = 1

Tan 315° = -1

16. |v| = √25 + 9 + p²

|v|² = 34 + p

|u| = 1/2 × v

1/2 × (34 + p)

17 + 1/2p

u × v / |v| = (-1, 4, 6) x (-5, 3, p) / 17 + 1/2p

= 5 + 12 + 6p / 17 + 1/2p

= 17 + 6p / 17 + 1/2p

17+6p = 17 + 1/2p

0 = 3p

p = 0/3 = 0

17. a x b / |b|

= (-4, 1, 2) x (4, -5, 3) / 5√2

= -16 - 5 + 6 / 5√2

= -15/ 5√2

= -3/2√2

QUESTIONS 3

15). 5^x+2 < 4^x

log5^x+2 < log4^x

(x+2) log5 < x (log4)

xlog5 + 2log5 < xlog4

xlog5 - xlog4 < -2 log5

x (log5 - log4) < -2log5

HP = {x < -2log5 /log5-log4}

16). (x-4)^4x < (x-4)^1+3x

4x < 1+3x

x < 1

HP : {x < 1 atau x < 4}

x-4 < 0

x < 4

17). 2^x³-x < 1

2^x³ - x < 2^0

x³ - x < 0

x (x - 1) (x + 1) < 0

x = 0, x = 1, x = -1

HP : {0 < x < 1 atau x < -1}

18). 5^2x+1 > 5^x+4

(5^x)² × 5¹ > 5^x + 4

5 p² > p + 4

5p² - p - 4 > 0

(p - 1) (5p + 4) > 0

p = 1 p = -4/5

HP : {x < -4/5 atau x > 1}

19). 2^x × 2¹ × 2^-4 ≤ 0 / 1-2^x

p - 2p - 4 / 1-2x ≤ 0

(p-2) (p+1) / p (1-p) ≤ 0

p = 2 p = -1

HP : { -1 < x < 2}

20). (4^x)² × 4¹ > 4^x + 3

4p² - p - 3 > 0

(4p - 4/4) (4p +3) > 0

(p - 1) (4p + 3) > 0

p = 1 p = -3/4

HP : {-3/4 < x < 1}

21). 3^x-2y = 3^-4

x - 2y = -4

x - y = 4

______ -

-y = 8

y = -8

x-8 = 4

x = 12

x+y = 12 + (-8) = 4

22). (2a^5 - b^-5)/3 × 2a^9 × b^-1) ^-1

(2¹a^5 b^-5/2^5 a^9 b^-1)

(2^-4 a^-4 b^-4)

(2^⁴ a^⁴ b^⁴)

(2 ab)⁴

23). 9^3x-4 = 81^½x-5

(3²)^3x-4 = (3^-4)^2x-5

6x - 8 = -8x + 20

14x = 28

x = 2

24). 4¹+² × 3^4x+1 < 432

4 × 4^2x × 3^4x × 3 < 432

4^2x × 3^4x < 36

16^x × 18^x < 36

1.296^x < 36

36^x < 36

x < 1

25). (1/3)^x+2 < (1/3)^x

x + 2 < x

0 < 2 (TIDAK MEMENUHI)

(1/3)^x+2 < (1/3)^-x

x +2 < -x

2x < -2

x < -1

QUESTIONS 4

32. g = ( 2, 1, -3 ) h = ( -1, 3, -2 )

ǀ g ǀ = √14 ǀ h ǀ = √14

Cos Ɵ = g.h / ǀ g ǀ. ǀ h ǀ

= -2 + 3+6 / √14. √14

= 7/14

= 1/2

33. ǀuǀ . ǀv ǀ + ǀu-vǀ = ǀu + v ǀ

45 + 4√5 = ǀu + v ǀ

ǀu + v ǀ = 53,944 = 54

34. 34. AB = B – A

AB + A = B

(-15, 12 ) + (-4, -6 ) = B

(-19, 6 ) = B

35. C = u.v / ǀvǀ . v

= -6 + 2 + (-3) / (√14)2 . ( -3i + 2j – k )

= -7/14 . ( -3i + 2j – k )

= -1/2 . ( -3i + 2j – k )

= ( 3/2i -j + 1/236 4

= 14 + 90 -11m / √4+100+121

4 = 104 – 11m / √225

4 = 104 – 11m / 15

60 = 104 – 11m

11m = 104 – 60

11m = 44

m = 4k

37. p . q = | p | | q | cos Θ

p . q = (-3i - 3aj - bk ) . ( -ai + bj - 2ak )

p . q = 3a - 3ab + 2ab

p . q = 3a

| p |² = (-3)² + (-3a)² + (-b)² = 9 + 9a² + b²

| p | = √ (9 + 9a² + b² )

| q |² = (-a)² + b² + (-2a)² = a² + b² + 4a²

| q | = √ (a² + b² + 4a² ) = √(5a²+b²)

r = [ ( p . q ) / (| q |²) . q

i - j + 2k = [ 3a /(5a²+b²) . ( -ai + bj - 2ak )

-3 = 3a² /( 5a² + b² )

-3a² - b² = 3a²

-b² = a²

cos Θ = p . q / ( | p | | q | )

(√6)/8 = 3a / ( √ (9 + 9a² + b² ) . √(5a²+b²)

[ (√6)/8 ]² = (-3b)² / (9 - 9b² + b² ) . (-5b²+b²)

( 6 / 64 ) (9 - 8b²) . (-4b²) = 9b²

( -24 / 64 ) (9 - 8b²) = 9

-8b²+ 9 = -24

-8b² = -33

b² = 4,125

b = √4,125

b = 2,03

maka, b = -a = -2,03. Jadi, nilai a = -2,03

38). Cos x = a.b/|a|.|b|

½√2 = -12 + 2x / √20 . √9+x²

½√2 = -12 + 2x / √180 + 20x²

½√2 . √180 + 2x² = -12 + 2x

½ √360 + 40x² = -12 + 2x

(√360 + 40x²)² = (-24 + 4x)²

360 + 40x² = 16x² - 192 + 576

24x² + 192x - 216 = 0

x² + 8x - 9 = 0

(x+9) (x-1) = 0

x = -9 x = 1

Jadi, HP nya bilangan yang positif yaitu x = 1

39). |r| = p.q / |p|

2 = 6 + b + 2 / 3

12 = 8 + b

4 = b

Jadi, b = 4

40). AB = (5,1,1)

BC = (-3, -2, 2)

D = AB.BC / |BC| ×BC

= -15 + (-2) + (-2) / (√9+4+4)² × (-3,-2,2)

= -19/17 (-3, -2, 2)

= 57/17, 38/17, -38/17

Jadi, HP = {57/17, 38

Sabtu, 01 Mei 2021

SOAL VEKTOR 2

Nama : Jihan Nafiisah

Kelas : X MIPA 3

Kamis, 15 April 2021

JAWABAN SOAL VEKTOR NO 18 JIHAN NAFIISAH X MIPA 3

Kamis, 25 Maret 2021

MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

Pengertian Besaran Vektor

Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya.

Sedangkan, Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya.

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu, dapat dinyatakan dalam grafis berikut.

Bila u menyatakan garis berarah dari A ke B maka dituliskan lambang

( dibaca vektor AB mewakili vektor u, sedangkan AB adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B)

1. Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama

vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama.

vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya sama tetapi arahnya berbeda, dalam hal ini

2. Perkalian Skalar dengan Vektor

Bila k adalah sebuah skalar maka perkalian dengan vektor a dinyatakan dengan k a, sebuah vektor yang searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a

3. Sifat-sifat skalar dengan vektor

4. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan

menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode jajarangenjang (aturan cosinus), metode poligon dan metode penguraian vektor.

Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula.

untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut : perhatikan arah anak panahnya

5. Notasi Vektor

Vektor disini dinyatakan dengan huruf yang diberi arah garis diatasnya.

Vektor dapat dinyatakan dalam dua dimensi bahkan tiga dimensi atau lebih. Jika dinyatakan dalan tiga dimensi maka vektor memiliki vektor satuan yang dinyatakan dalam i, j, dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan dan arahnya sesuai dengan sumbu utama, yakni :

i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)

j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)

k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)

dengan a_x sebagai komponen arah sumbu x, dan a_y komponen arah sumbu y dan a_z adalah komponen arah sumbu z.

Bentuk tulisan vektor

dalam matematika lebih sering dituliskan dalam

dengan komponen dalam bentuk indeks angka

Panjang vektor (besar,nilai) dituliskan seperti tanda mutlak dalam aljabar

Atau dalam indeks angka

Bila vektor ditentukan oleh koordinat

Maka vektor AB dinyatakan dengan

Panjang vektor AB

Sedangkan vektor satuan dari suatu vektor yang dinyatakan sebagai

Dinyatakan dengan

panjang vektor satuan adalah 1 satuan.

PENERAPAN VEKTOR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

illustrasi penerapan vektor dalam kehidupan

1. Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

2. Ketika perahu menyebrangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.

3. Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut.

4. Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan metode vektor, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui arah vektor yang disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombang-ambing.

5. Konsep vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor.

6. Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

7. Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.

8. Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.

9. Pada saat seorang melakukan olahraga tersebut, mereka akan terjun dengan kemiringan tertentu hingga menginjak tanah.

10. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

contoh vektor

11. Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan gravis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat-koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai koordinat. Layar Monitor berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional).

12. Kapal selam: kapal. Selam ini di beri rongga udara yang berfungsi sebai tempat masuk dan kluarnya air atau udara. Ketika rongga tersebut berisi udara ,volume air di yang pindahkan sama dengan berat kaPal sehingga kapal selam bisa mengapung.dan jika tutup udara Pada rongga di buka kembali maka volume air pada rongga akan bertambah sehingga kapal selam tenggelam.

Sumber http://www.allmipa.com/2016/12/12-penerapan-vektor-dalam-kehidupan.html dan https://www.quipper.com/id/blog/un/matematika-un-sma/kupas-tuntas-matematika-vektor-sma-kelas-x-peminatan/

Kamis, 18 Maret 2021

PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor ortogonal. Jadi, untuk jenis proyeksi lainnya tidak akan dibahas pada halaman ini.

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

Proyeksi skalar ortogonal $\vec{a}$ pada arah vektor $\vec{b}$ .
$\left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{b} \right| }$
Proyeksi skalar ortogonal $\vec{b}$ pada arah vektor $\vec{a}$ .
$\left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{a} \right| }$

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.

Proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ .
$\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| ^{2} } \cdot \vec{b}$
Proyeksi vektor ortogonal $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ .
$\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| ^{2} } \cdot \vec{a}$