Jihan Nafiisah: SOAL PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

1. Jika $x>0$ dan $x\ne 1$ memenuhi $\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p$ , serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

$\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p$

$= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}$

Akar dirubah menjadi pangkat:

$= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}$

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

$x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p$

$(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p$

Maka

$p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen $3^{-x^2+3x} \le 1$ adalah:

Pembahasan

$3^{-x^2 + 3x} \le 1$

$3^{-x^2 + 3x} \le 3^0$

Sehingga,

$-x^2 + 3x \le 0$

$x(-x + 3) \le 0$

Diperoleh,

$x_1 = 0$ dan $x_2 = 3$

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang $0<x<3$ kemudian disubstitusikan kedalam bentuk $-x^2 + 3x \le 0$ . Misal ambil x = 1.

$-(1)^2 + 3(1) \le 0$

$- 1 + 3 \le 0$

$2 \le 0$ (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang $0<x<3$ , sehingga didapat penyelesaiannya adalah

$x\le 0$ dan $x\le 3$

3. Akar-akar persamaan $5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ .

Jika $x_1 < x_2$ , maka tentukan nilai $2x_1 + x_2$

Pembahasan

$5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

$5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

$5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0$

Misalkan $5^{x+1} = y$ , maka

$5(y^2) - 6(y) + 1 = 0$

$y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}$

$y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}$

sehingga $y_1 = \frac{1}{5}$ dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam $5^{x+1} = y$ menjadi

$5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2$

$5^{x+1} = 1 = 5^0$

$x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1$

Sehingga,

$2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5$

4. Himpunan penyelesaian

, x ∊ R adalah ...

a.    {x∣-1<x<2}
b.    {x∣-2<x<1}
c.    {x∣x<-1 atau x>2}
d.    {x∣x<-2 atau x>1}
e.    {x∣x<0 atau x>1}
Pembahasan:

Misal:  maka:

     (2p – 1) (p – 4) > 0
     p = ½ dan p = 4
untuk p = ½, maka
untuk p = 4, maka , x = 2

HP = {x∣x<-1 atau x>2}
Jawaban: C

5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

adalah ...

a.    {p∣p< -2- √7 atau p> -2+ √7}
b.    {p∣p<1 atau p>3}
c.    {p∣ -2- √7< p< -2+ √7}
d.    {p∣ 1< p< 3}
e.    {p∣-3< p< -1}
Pembahasan:

-√7 < p + 2 < √7
-2 -√7 < p < -2 + √7

Jawaban: C

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

adalah ...
a.    x ≥ -3/2
b.    x ≥ -1
c.    x ≥ 0
d.    x ≥ 1/2
e.    x ≥ 1
pembahasan:

     2x + 2 ≥ -2x – 2
     4x ≥ -4
     x ≥ -1
jawaban: B

7. Himpunan penyelesaian dari 22x − 7 ∙ 2x > 8 adalah ….

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R}
D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan

Misalkan p = 2x sehingga 22x = p2.

   22x − 7 ∙ 2x > 8
   p2 − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

p < −1    atau    p > 8
2x < −1    atau 2x > 8

Penyelesaian 2x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2x > 8.

2x > 8
2x > 23
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

8. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0, x ∈ R adalah ….

A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

PembahasanLangkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 32x+1 menjadi 32x ∙ 31.

   32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
32x ∙ 31 + 9 − 28 ∙ 3x > 0

Misalkan p = 3x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

3p2 − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

p < 1/3    atau    p > 9
3x < 3−1   atau 3x > 32
  x < −1    atau   x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

9. Himpunan penyelesaian dari 9x − 54 > 3x+1 adalah ….

A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R}
C.   {x│x > 4, x ∈ R}
D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

Pembahasan

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9x − 3x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus am+n = am ∙ an.

9x − 3x . 31 − 54 > 0

Misalkan p = 3x sehingga 9x = p2.

p2 − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

p < −6   atau    p > 9
3x < −6   atau 3x > 9

Penyelesaian 3x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3x > 9.

3x > 9
3x > 32
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x - 6.5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A. 1 < x < 2
B. 5 < x < 25
C. x < -1 atau x > 2
D. x < 1 atau x > 2
E. x < 5 atau x > 25

Pembahasan :
52x - 6.5x+1 + 125 > 0
(5x)2 - 6.5x.51 + 125 > 0
(5x)2 - 30(5x) + 125 > 0

Misalkan y = 5x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y2 - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5 atau y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5 atau y > 25

Karena y = 5x, maka penyelesaiannya menjadi
5x < 5 atau 5x > 25
5x < 51 atau 5x > 52
x < 1 atau x > 2

Jawaban : D

11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

\begin{aligned} 9^{2 x - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{x^{2} - 4} \end{aligned}

adalah ...
A. {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B. {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C. {x / x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
D. {x / x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
E. {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :

\begin{aligned} 9^{2 x - 4} & \geq {(\frac{1}{27})}^{x^{2} - 4} \\ {(3^{2})}^{2 x - 4} & \geq {(3^{- 3})}^{x^{2} - 4} \\ 3^{2 (2 x - 4)} & \geq 3^{- 3 (x^{2} - 4)} \\ 2 (2 x - 4) & \geq - 3 (x^{2} - 4) \\ 4 x - 8 & \geq - 3 x^{2} + 12 \\ 3 x^{2} + 4 x - 20 & \geq 0 \end{aligned}

Pembuat nol :
3x2 + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3 atau x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3 atau x ≥ 2

Jawaban : C

12. Himpunan penyelesaian dari 32x - 6.3x < 27 adalah ...

A. {x / x < -3, x ∈ R}
B. {x / x < -2, x ∈ R}
C. {x / x < 2, x ∈ R}
D. {x / x > 2, x ∈ R}
E. {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
32x - 6.3x < 27
(3x)2 - 6(3x) - 27 < 0

Misalkan y = 3x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y2 - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3 atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3 dan y < 9

Karena y = 3x, maka
3x > -3 dan 3x < 9
3x > -3 dan 3x < 32
x ∈ R dan x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R dan x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

13. Penyelesaian dari 5-2x+2 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0 adalah ...

A. x ≤ -3 atau x ≥ 1/25
B. -3 ≤ x ≤ 1/25
C. x ≤ 2
D. x ≥ 2
E. x ≥ -2

Pembahasan :
5-2x+2 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0
5-2x . 52 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0
25(5-x)2 + 74(5-x) - 3 ≥ 0

Misalkan y = 5-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y2 + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y2 + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3 atau y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3 atau y ≥ 1/25

Karena y = 5-x, maka
5-x ≤ -3 ⟶ tidak mempunyai penyelesaian
5-x ≥ 1/25 ⇔ 5-x ≥ 5-2 ⇔ -x ≥ -2 ⇔ x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

sumber :
https://smatika.blogspot.com/2018/02/pembahasan-soal-un-persamaan-dan.html
https://www.ajarhitung.com/2017/01/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_18.html
https://kakajaz.blogspot.com/2017/10/pembahasan-pertidaksamaan-eksponen-logaritma.html

Jihan Nafiisah

Selasa, 15 September 2020

SOAL PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

Pembahasan

Pembahasan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

PENILAIAN AKHIR SEMESTER GENAP

Laporkan Penyalahgunaan