PENILAIAN TENGAH SEMESTER GENAP

 

1. Jika vektor a = (1   2   3), b = (5   4  –1), c = (4  –1   1) maka vektor a + 2b – 3c

Diketahui

• a = (1   2   3)
• b = (5   4  –1)
• c = (4  –1   1)

Ditanyakan

Vektor a + 2b – 3c = ... ?

Jawab

a + 2b – 3c

= 

= 

= 

= 

2. Diketahui |a| = √3, |b| = 1, dan |a - b| = 1, |a + b| = ...

Jawaban:
1) cari terlebih dahulu a.b dari perpangkatan |a - b|

|a - b|² = a² - 2ab + b²
    1²    = √3² - 2ab + 1²  <=== untuk a² = |a|² dan b² = |b|
                                               untuk a.b = |a|.|b|.cos α, karena tidak memiliki
                                                sudut α (sudut antara vektor a dan vektor b),                                                    maka tidak dapat dicari dengan cara dot vektor
    1     = 3 - 2ab + 1
   2ab  = 3 + 1 - 1
   2ab  = 3
    ab   = 3/2

2) pangkatkan |a + b|

|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7

Jadi, nilai dari |a + b| = √7

3. Diketahui dua vektor a=2i-3j+4k dan b=5j+5k.nilai a.b adalah

a = 2i - 3j + 4k,
b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5

4. Diketahui la+bl=2√19, jika lal=4 dan lbl=6 maka la-bl adalah...

|a + b| = 2√19
|a + b|^2 = (2√19)^2
|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)
4^2 + 2ab + 6^2 = 76
16 + 2ab + 36 = 76
2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2
|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2
|a - b|^2 = 28
|a - b| = √28 = 2√7

5. Diketahui vektor a=2i-3J+k, b=pi+2j-k dan c=i-j+3k. jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a-b-c adalah...

Jawab :

b x c = 0

(p,2,-1) x (1,-1,3) = 0

(p,-2,-3) = 0

p-2-3= 0

p = 5

a-b-c

 = (2,-3,1)-(5,2,-1)-(1,-1,3) 

= (-4,4,-1) 

= -4i + 4j +k

6. Jika sudut antra vektor a = i + √2j +pk dan b = i - √2j + pk adalah 60°, maka p = 

Jawab :

a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)

2p² - 2 = p² + 3

p² = 5

P² - 5 = 0

(P + √5)(p - √5) = 0

P = √5

P = - √5 (D)

7. Titik a (3, 2, -1) b (1,-2, 1) dan c(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p...

Jawab :

A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)

C = (7,(p - 1), -5)

panjang AB = B - A

= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)

= (-2, -4, 2)

panjang BC = C - B

= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)

= (6, (p + 1), -6)

kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

misal kita ambil vektor dari sumbu x

-2 * x = 6

x = 6 / -2

 x = -3

maka,

-4 * x = (p + 1)

-4 * -3 = p + 1

12 = p + 1

p = 12 - 1

p = 11

8. Diketahui titik A(3, 1, –4), B(3, –4, 6) dan C(–1, 5, 4), titik P membagi vektor AB sehingga AP : PB = 3 : 2, maka vektor yang di wakili oleh vektor PC

Diketahui

• A(3, 1, –4)
• B(3, –4, 6)
• C(–1, 5, 4)
• AP : PB = 3 : 2

Ditanyakan

Vektor PC = .... ?

Jawab

AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2)

9. Diketahui panjang proyeksi vektor a = (–2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah 8. Nilai p = 3

Diketahui

• vektor a = (–2, 8, 4)
• vektor b = (0, p, 4)

panjang proyeksi vektor a pada b = 8

Ditanyakan

Nilai p = ... ?

Jawab

a . b = 

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| = 

|b| = 

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

 = 8

 = 8

 = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3

10. Diketahui vektor a = ( p,2,-1) , b = (4,-3,6) dan c = ( 2,-1,3) , jika a tegak lurus b, maka hasil dari (vektor a-2 vektor b).( 3vektor C) adalah...

Diketahui :
a = (p, 2, -1)
b = (4, -3, 6)
c = (2, -1, 3)
a tegak lurus b => a.b = 0

Ditanyakan :
(a - 2b) . 3c = .... ?

Jawab :
a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171

11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)

BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

      AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2

Jadi, AB : BC = 1 : 2

12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...

Jawaban:

saling membentuk sudut 90°

Penjelasan dengan langkah-langkah:

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

AKAR NYA HILANG JADI

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

jadi a dan b saling membentuk sudut 90°

13.  Diketahui titik A (2,7,8) B (-1,1,-1) dan C (0,3,2) Jika u mewakili AB dan v mewakili BC maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...

Jawab :

AB= b-a

BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)

=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)

=(1,2,3)

e= u•v/|v|² . v

=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)

=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)

=-42/14 kali (1,2,3)

= -3(1,2,3)

= (-3,-6,-9) = -3i - 6j -9k (A)

14.  Diketahui Vektor a= 2i - 3j + 6k b = i + pj - k saling tegak lurus. Nilai p adalah

Saling tegak lurus, maka
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3

15. Diketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Jawab :

 |d| = a.b/  |a |

= (2, -3, 1) . (3,1,7)

= (6, -3, 7)

= 6 i - 3j + 7k

16. Diketahui vektor a = 3,-2,1b= 2,y,2. jika z proyeksi a terhadap b dan vektor |z|= 1/2 vektor |b|, maka nilai y yang memenuhi adalah...

|z| = ½ |b|

|z| = ½ √(2)² + (y)² + (2)²

|z| = ½ √y² + 8

a.b = (3, -2, 1) × (2, y, 2) = (6 - 2y + 2) = 8 - 2y

Proyeksi a pada b

|z| = a.b / |b|

½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8

½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y

y² + 8 = 2 (8 - 2y)

y² + 8 = 16 - 4y

y² + 4y - 8 = 0

y = -4+4√3.2 atau y=-4-2√3.2 

= -2 + 2√3 (B)

17. Diketahui vektor-vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan cos theta=6/11. proyeksi u pada v adalah p=4i-2j+4k. nilai dari b adalah.....

Diketahui

 dan 

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah 

Ditanya

Nilai b

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

18. Jika a = (x+1) i + x j, b = 2x i + (3x+1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2 |a| untuk ...

x + 1 >_ 0 atau x - 2 <_ 0
x >_ -1 atau x <_ 2
{ -1 <_ x <_ 2}
Maka |p| <_ 2|a| untuk { -1 <_ x <_ 2 } (C)

C. PERNYATAAN BENAR, ALASAN SALAH

A.PERNYATAAN BENAR,ALASAN BENAR,DAN MEMPUNYAI HUBUNGAN SEBAB AKIBAT.

SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

Pengertian Vektor

Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah dan vektor panjang garisnya disebut vektor besar. Dalam bantuannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis / panah seperti atau  atau juga:

Komponen vektor  Dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

 atau 

Jenis-jenis Vektor

Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:

• Vektor Posisi suatu
  vektor yang berada di titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A
• Vektor Nol
  Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
• Vektor satuan
  Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari adalah:
  
• Basis
  vektor Basis vektor merupakan satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi memiliki dua vektor dasar yaitu dan . Sedangkan dalam tiga dimensi memiliki tiga dasar vektor yaitu , , dan .

Vektor di R ^ 2

Panjang garis yang pernah ada vektor  atau dinotasikan sebagai  Vektor panjang sebagai:

Panjang vektor tersebut dapat mencegah dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari basis vektor dan  berikut:

Operasi Vektor di R ^ 2

Penjumlahan dan vektor sehari sekali di R ^ 2

Dua atau lebih vektor dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika dan  maka:

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

Dalam penanggulangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

Sifat-sifat dalam penjumlahan sebagai vektor berikut:

• 
• 

Perkalian vektor di R ^ 2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jikaadalah vektor dan k adalah skalar. Vektor maka perkalian:

Dengan ketentuan:

• Jika k> 0, maka vektor  searah dengan vektor 
• Jika k <0, maka vektor  berlawanan arah dengan vektor 
• Jika k = 0, maka vektor  adalah identitas vektor 

Secara grafis perkalian ini dapat mengubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

Secara aljabar perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan:

Perkalian Skalar Dua Vektor di R ^ 2

Perkalian skalar dua vektor juga sebagai hasil kali titik titik dua vektor disebut dan ditulis sebagai:

 (dibaca: titik b)

Perkalaian skalar vektor  dan  dilakukan dengan mengalikan vektor panjang  dan vektor panjang  dengan cosinus . Sudut yang merupakan sudut vektor antara dan vektor .

Sehingga:

Dimana:

Perhatikan bahwa:

• Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
• 
• 

Vektor di R ^ 3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z) .jarak antara dua titik vektor dalam Dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik dan titik  maka jarak AB adalah:

Atau jika , maka

Vektor  Dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom  atau dalam baris . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari basis vektor dan  dan  berikut:

Operasi Vektor di R ^ 3

Operasi vektor di  secara umum, memiliki konsep yang sama dengan tindakan vektor  dalam penjumlahan, hari, maupun perkalian.

Penjumlahan dan vektor bencana alam di R ^ 3

Penjumlahan dan vektor bencana alam  sama dengan vektor di  yaitu:

Dan

Perkalian vektor di R ^ 3 dengan skalar

Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Vektor maka perkalian:

Vektor hasil kali skalar dua

Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika dan  maka  adalah:

Proyeksi vektor ortogonal

Jika vektor  diproyeksikan ke vektor  dan diberi nama  seperti gambar dibawah:

Diketahui:

Sehingga:

 atau 

Untuk mendapat vektornya:

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A (2,4,6), titik B (6,6,2), dan titik C (p, q, -6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q.

Pembahasan 1:

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

• 

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

• 

sehingga:

Maka kelipatan m dalam persamaan:

Diperoleh:

• 
  
• 
  

dis:

p + q = 10 + 14 = 24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

Pembahasan 2:

Dari gambar dapat diketahui bahwa:

•  sehingga 
• 

Sehingga:

Contoh Soal 3

Vektor misalkan  dan vektor . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ pada  adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:

Diketahui:

• 
• 

Maka:

12 = 8 + 2y

y = 2