Jihan Nafiisah: SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Pengertian Vektor

Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah dan vektor panjang garisnya disebut vektor besar. Dalam bantuannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis / panah seperti $\ vec {v}$ atau $\ bar {v}$ atau juga:

$\ vec {AB}$

pengertian vektor

Komponen vektor $\ bar {v}$ Dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

$\ vec {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \ akhiri {larik} \ kanan)$ atau $\ vec {v} = (v_1, v_2)$

Jenis-jenis Vektor

Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:

Vektor Posisi suatu
vektor yang berada di titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A $(a_1, a_2)$
Vektor Nol
Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan $\ bar {0}$ . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
Vektor satuan
Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari $\ vec {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ kanan)$ adalah:
$\ bar {U_v} = \ frac {\ bar {v}} {\ mid \ bar {v} \ mid} = \ frac {1} {\ mid \ bar {v} \ mid} \ kiri (\ begin {array } {r} v_1 \\ v_2 \ end {larik} \ kanan)$
Basis
vektor Basis vektor merupakan satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi $(R ^ 2)$ memiliki dua vektor dasar yaitu $\ bar {l} = (1,0)$ dan $\ bar {j} = (0,1)$ . Sedangkan dalam tiga dimensi $(R ^ 3)$ memiliki tiga dasar vektor yaitu $\ bar {I} = (1, 0, 0)$ , $\ bar {J} = (0, 1, 0)$ , dan $\ bar {K} = (0, 0,1)$ .

Vektor di R ^ 2

Panjang garis yang pernah ada vektor $\ bar {v}$ atau dinotasikan sebagai $\ mid \ bar {v} \ mid$ Vektor panjang sebagai:

vektor di R2

Panjang vektor tersebut dapat mencegah dengan sudut $\ theta$ yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

panjang dan rumus vektor

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari basis vektor $\ bar {l} = \ binom {1} {0}$ dan $\ bar {J} = \ binom {0} {1}$ berikut:

$\ bar {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \ end {array} \ right) = v_1 \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \ end {array } \ kanan) + v_2 \ kiri (\ begin {array} {r} 0 \\ 1 \ end {array} \ kanan)$

$\ bar {v} = v_1 \ bar {i} + v_2 \ bar {j}$

panjang vektor di r2

Operasi Vektor di R ^ 2

Penjumlahan dan vektor sehari sekali di R ^ 2

Dua atau lebih vektor dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika $\ vec {a} = \ kiri (\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \ end {array} \ kanan)$ dan $\ vec {b} = \ kiri (\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \ end {array} \ kanan)$ maka:

$\ vec {a} + \ vec {b} = \ kiri (\ begin {array} {r} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \ end {array} \ kanan)$

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan dan vektor vektor

Dalam penanggulangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

$\ bar {a} - \ bar {b} = \ left (\ begin {array} {r} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \ end {array} \ right)$

Sifat-sifat dalam penjumlahan sebagai vektor berikut:

$\ bar {a} + \ bar {b} = \ bar {b} + \ bar {a}$
$\ bar {a} + (\ bar {b} + \ bar {c}) = (\ bar {a} + \ bar {b}) + \ bar {c}$

Perkalian vektor di R ^ 2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika $\ bar {v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Vektor maka perkalian:

$k. \ bar {v}$

Dengan ketentuan:

Jika k> 0, maka vektor $k. \ bar {v}$ searah dengan vektor $\ bar {v}$
Jika k <0, maka vektor $k. \ bar {v}$ berlawanan arah dengan vektor $\ bar {v}$
Jika k = 0, maka vektor $k. \ bar {v}$ adalah identitas vektor $\ bar {o} = ^ 0_0$

Secara grafis perkalian ini dapat mengubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

vektor perkalian dengan skalar

Secara aljabar perkalian vektor $\ bar {v}$ dengan skalar k dapat dirumuskan:

$k. \ bar {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} k.v_1 \\ k.v_2 \ end {array} \ kanan)$

Perkalian Skalar Dua Vektor di R ^ 2

Perkalian skalar dua vektor juga sebagai hasil kali titik titik dua vektor disebut dan ditulis sebagai:

$\ bar {a}. \ bar {b}$ (dibaca: titik b)

Perkalaian skalar vektor $\ bar {a}$ dan $\duri}$ dilakukan dengan mengalikan vektor panjang $\ bar {a}$ dan vektor panjang $\duri}$ dengan cosinus $\ theta$ . Sudut $\ theta$ yang merupakan sudut vektor antara $\ bar {a}$ dan vektor $\duri}$ .

Sehingga:

$\ bar {a} \ cdot \ bar {b} = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid cos \ theta$

Dimana:

vektor perkalian skalar dua

Perhatikan bahwa:

Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
$\ bar {a}. \ bar {a} = (\ bar {a} ^ 2)$
$\ bar {a}. (\ bar {b} + \ bar {c}) = (\ bar {a}. \ bar {a}) + (\ bar {a}. (\ bar {c})$

Vektor di R ^ 3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z) .jarak antara dua titik vektor dalam $R ^ 3$ Dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik $A (x_1, y_1, z_1)$ dan titik $B (x_2, y_2, z_2)$ maka jarak AB adalah:

$AB = \ sqrt {(x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2 b + (z_2 - z_1) ^ 2}$

Atau jika $\ bar {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ kanan)$ , maka

$\ mid \ bar {v} \ mid = \ sqrt {(v_1) ^ 2 + (v_2) ^ 2 + (v_3) ^ 2}$

Vektor $\ bar {AB}$ Dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom $\ bar {AB} = \ kiri (\ begin {array} {r} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \ end {array} \ right)$ atau dalam baris $\ bar {AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)$ . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari basis vektor $\ bar {l} (1,0,0)$ dan $\ bar {J} (0,1,0)$ dan $\ bar {K} (0,0,1)$ berikut:

$\ bar {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = v_1 \ left (\ begin {array} {r} 1 \\ 0 \ \ 0 \ end {larik} \ kanan) + v_2 \ kiri (\ begin {larik} {r} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {larik} \ kanan) + v_3 \ kiri (\ begin {larik} {r } 0 \\ 0 \\ 1 \ end {larik} \ kanan)$

$\ bar {v} = v_1 \ bar {I} + v_2 \ bar {J} + v_3 \ bar {K}$

vektor di R3

Operasi Vektor di R ^ 3

Operasi vektor di $R ^ 3$ secara umum, memiliki konsep yang sama dengan tindakan vektor $R ^ 2$ dalam penjumlahan, hari, maupun perkalian.

Penjumlahan dan vektor bencana alam di R ^ 3

Penjumlahan dan vektor bencana alam $R ^ 3$ sama dengan vektor di $R ^ 2$ yaitu:

$\ bar {a} + \ bar {b} = \ left (\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \ end {array} \ right) + \ left (\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {larik} \ kanan) = \ kiri (\ mulai {larik} {r} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \ end {larik} \ kanan)$

Dan

$\ bar {a} - \ bar {b} = \ left (\ begin {array} {r} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \ end {array} \ right) - \ left (\ begin {array} {r} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {larik} \ kanan) = \ kiri (\ begin {larik} {r} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \ end {larik} \ kanan)$

Perkalian vektor di R ^ 3 dengan skalar

Jika $\ bar {v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Vektor maka perkalian:

$k. \ bar {v} = \ kiri (\ begin {array} {r} k.v_1 \\ k.v_2 \\ k.v_3 \ end {array} \ kanan)$

Vektor hasil kali skalar dua

Selain rumus di $R ^ 3$ , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika $\ bar {a} = a \ bar {I} + a_2 \ bar {J} + a_3 \ bar {K}$ dan $\ bar {b} = b_1 \ bar {i} + b_2 \ bar {j} + b_3 \ bar {k}$ maka $\ bar {a}. \ bar {b}$ adalah:

$\ bar {a}. \ bar {b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)$

Proyeksi vektor ortogonal

Jika vektor $\ bar {a}$ diproyeksikan ke vektor $duri}$ dan diberi nama $\ bar {c}$ seperti gambar dibawah:

proyeksi vektor ortogonal

Diketahui:

$\ bar {a}. \ bar {b} = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid cos \ theta \ overset {maka} {\ rightarrow} cos \ theta = \ frac {\ bar {a}. \ bar {b}} {\ mid \ bar {a} \ mid \ mid \ bar {b} \ mid}$

Sehingga:

$\ mid \ bar {c} \ mid = \ mid \ bar {a} \ mid \ mid cos \ theta \ mid$ atau $\ mid \ bar {c} \ mid = \ mid \ frac {\ bar {a}. \ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid$

Untuk mendapat vektornya:

$\ bar {c} = \ mid \ frac {\ bar {a}. \ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid \ bar {b}$

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A (2,4,6), titik B (6,6,2), dan titik C (p, q, -6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q.

Pembahasan 1:

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor $\ bar {AB}$ dan vektor $\ bar {AC}$ bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

$m. \ bar {AB} = \ bar {AC}$

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

$\ bar {AB} + \ bar {BC} = \ bar {AC}$

sehingga:

$\ bar {AB} = \ kiri (\ begin {array} {r} 6-2 \\ 6-4 \\ 2-6 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} 4 \\ 2 \\ -4 \ end {larik} \ kanan)$

$\ bar {AC} = \ kiri (\ begin {array} {r} p-2 \\ q-4 \\ -6-6 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r } p-2 \\ q-4 \\ -12 \ end {larik} \ kanan)$

Maka kelipatan m dalam persamaan:

$m. \ bar {AB} = \ bar {AC}$

$m. \ left (\ begin {array} {r} 4 \\ 2 \\ -4 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {r} p-2 \\ q-4 \ \ -12 \ end {larik} \ kanan)$

$-4.m = (-12) \ sisi kanan m = 3$

Diperoleh:

$2. m = (q - 4) \ sebelah kanan 6 = (q - 4)$
$q = 10$
$4. m = (p - 2) \ sebelah kanan 12 (p - 2)$
$p = 14$

dis:

p + q = 10 + 14 = 24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

contoh soal vektor dan pembahasannya

Pembahasan 2:

Dari gambar dapat diketahui bahwa:

$\ bar {AB} + \ bar {a} = \ bar {b}$ sehingga $\ bar {AB} = \ bar {b} - \ bar {a}$
$\ bar {AC} = \ frac {m} {m + n} \ bar {AB} = \ frac {m} {m + n} (\ bar {b} - \ bar {a})$

Sehingga:

$\ bar {c} = \ bar {AC} + \ bar {a}$

$= \ frac {m} {m + n} (\ bar {b} - \ bar {a}) + \ bar {a} = \ frac {m} {m + n} (\ bar {b}) - \ frac {m} {m + n} (\ bar {a}) + \ frac {m + n} {m + n} (\ bar {a})$

$= \ frac {m} {m + n} (\ bar {b}) + \ frac {n} {m + n} (\ bar {a})$

Contoh Soal 3

Vektor misalkan $\ bar {a} = 4 \ bar {i} + y \ bar {j}$ dan vektor $\ bar {b} = 2 \ bar {i} + 2 \ bar {j} + \ bar {k}$ . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ $\ bar {a}$ pada $\duri}$ adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:

Diketahui:

$\ mid \ bar {b} \ mid = \ sqrt {(2) ^ 2 + (2) ^ 2 + (1) ^ 2} = \ sqrt {9} = 3$
$\ bar {a}. \ bar {b} = (4.2) + (2.y) + (0.1) = 8 + 2y$

Maka:

$\ bar {c} = \ mid \ frac {\ bar {a}. \ bar {b}} {\ mid \ bar {b} \ mid} \ mid \ bar {b} \ overset {menjadi} {\ rightarrow} 4 = \ mid \ frac {8 + 2y} {3} \ mid$

12 = 8 + 2y

y = 2

Jihan Nafiisah

Jumat, 19 Februari 2021

SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Pengertian Vektor

Jenis-jenis Vektor

Vektor di R ^ 2

Operasi Vektor di R ^ 2

Penjumlahan dan vektor sehari sekali di R ^ 2

Perkalian vektor di R ^ 2 dengan skalar

Perkalian Skalar Dua Vektor di R ^ 2

Vektor di R ^ 3

Operasi Vektor di R ^ 3

Penjumlahan dan vektor bencana alam di R ^ 3

Perkalian vektor di R ^ 3 dengan skalar

Vektor hasil kali skalar dua

Proyeksi vektor ortogonal

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

PENILAIAN AKHIR SEMESTER GENAP

Laporkan Penyalahgunaan