1. Jika vektor a = (1 2 3), b = (5 4 –1), c = (4 –1 1) maka vektor a + 2b – 3c
Diketahui
- a = (1 2 3)
- b = (5 4 –1)
- c = (4 –1 1)
Ditanyakan
Vektor a + 2b – 3c = ... ?
Jawab
a + 2b – 3c
=
=
=
=
2. Diketahui |a| = √3, |b| = 1, dan |a - b| = 1, |a + b| = ...
Jawaban:
1) cari terlebih dahulu a.b dari perpangkatan |a - b|
|a - b|² = a² - 2ab + b²
1² = √3² - 2ab + 1² <=== untuk a² = |a|² dan b² = |b|
untuk a.b = |a|.|b|.cos α, karena tidak memiliki
sudut α (sudut antara vektor a dan vektor b), maka tidak dapat dicari dengan cara dot vektor
1 = 3 - 2ab + 1
2ab = 3 + 1 - 1
2ab = 3
ab = 3/2
2) pangkatkan |a + b|
|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7
Jadi, nilai dari |a + b| = √7
b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5
|a + b|^2 = (2√19)^2
|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)
4^2 + 2ab + 6^2 = 76
16 + 2ab + 36 = 76
2ab = 24
|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2
|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2
|a - b|^2 = 28
|a - b| = √28 = 2√7
Diketahui
- A(3, 1, –4)
- B(3, –4, 6)
- C(–1, 5, 4)
- AP : PB = 3 : 2
Ditanyakan
Vektor PC = .... ?
Jawab
AP : PB = 3 : 2, maka
p =
p =
p =
p =
p = (3, –2, 2)
Jadi vektor PC
= c – p
=
=
= –4i + 7j + 2k
= (–4, 7, 2)
9. Diketahui panjang proyeksi vektor a = (–2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah 8. Nilai p = 3
Diketahui
- vektor a = (–2, 8, 4)
- vektor b = (0, p, 4)
panjang proyeksi vektor a pada b = 8
Ditanyakan
Nilai p = ... ?
Jawab
a . b =
a . b = –2(0) + 8p + 4(4)
a . b = 8p + 16
Panjang vektor b
|b| =
|b| =
Panjang proyeksi vektor a pada b = 8
= 8
= 8
= 8
8(p + 2) = 8√(p² + 16)
(p + 2) = √(p² + 16)
==> kedua ruas dikuadratkan <==
(p + 2)² = (p² + 16)
p² + 4p + 4 = p² + 16
4p = 16 – 4
4p = 12
p = 3
10. Diketahui vektor a = ( p,2,-1) , b = (4,-3,6) dan c = ( 2,-1,3) , jika a tegak lurus b, maka hasil dari (vektor a-2 vektor b).( 3vektor C) adalah...
Diketahui :
a = (p, 2, -1)
b = (4, -3, 6)
c = (2, -1, 3)
a tegak lurus b => a.b = 0
Ditanyakan :
(a - 2b) . 3c = .... ?
Jawab :
a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3
a - 2b
= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)
= (-5, 8, -13)
3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)
(a - 2b) . 3c
= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)
= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)
= -30 - 24 - 117
= -171
11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =
AB = b - a
= (3,3,1) - (1,2,3)
= (2,1,-2)
BC = c - b
= (7,5,-3) - (3,3,1)
= (4,2,-4)
AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
1 : 2
Jadi, AB : BC = 1 : 2
12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...
Jawaban:
saling membentuk sudut 90°
Penjelasan dengan langkah-langkah:
|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x
|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x
√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx
AKAR NYA HILANG JADI
|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx
=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0
=> 4 |a| |b| . cos x = 0
=> 0/4 |a|.|b|
=> 0
cos x = 0 = 90°
jadi a dan b saling membentuk sudut 90°
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3
Diketahui
dan
Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.
Vektor proyeksi u pada v adalah
Ditanya
Nilai b
Penyelesaian
Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.
Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.
Rumus cosinus sudut vektor u dan v
Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.
Kita sebut sebagai Persamaan-1.
Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.
Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni
Kita misalkan sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).
Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan
Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.
Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.
Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.
Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.
Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.
Kalikan silang.
5b² + 81 = 121
5b² - 40 = 0
Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.
b² - 8 = 0
Faktorkan.
(b - √8)(b + √8) = 0
Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2
18. Jika a = (x+1) i + x j, b = 2x i + (3x+1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2 |a| untuk ...
x >_ -1 atau x <_ 2
{ -1 <_ x <_ 2}
Maka |p| <_ 2|a| untuk { -1 <_ x <_ 2 } (C)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar